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八年级数学下册 第18章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 18.2.2 菱形(第2课时)课件 (新版)新人教版_图文

18.2.2 菱 形 第2课时

【基础梳理】 菱形的判定方法 1.定义:有一组_邻__边__相__等__的平行四边形是菱形. 2.对角线_互__相__垂__直__的平行四边形是菱形. 3._四__条__边__相__等__的四边形是菱形.

【自我诊断】 (1)对角线互相垂直且相等的四边形是菱形. ( × ) (2)如图,若要使平行四边形ABCD成为菱形,则需要添加 的条件是 ( C )
A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD

(3)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD互相垂直,则下列 条件能判定四边形ABCD为菱形的是 ( B )

A.BA=BC C.AC=BD

B.AC,BD互相平分 D.AB∥CD

(4)如图,ABCD是对角线互相垂直的四边形,且OB=OD, 请你添加一个适当的条件_O_A_=_O_C_(_或__A_D_=_B_C_或__A_D_∥__B_C_或__
_A_B_=_B_C_等__)_,使ABCD成为菱形.(只需添加一个即可)

知识点一 菱形的判定 【示范题1】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点E是AC的 中点,AC=2AB,∠BAC的平分线AD交BC于点D,作AF∥BC, 连接DE并延长交AF于点F,连接FC. 求证:四边形ADCF是菱形.

【思路点拨】先证明△AEF≌△CED,推出四边形ADCF是 平行四边形,再证明∠DAC=∠ACB,推出DA=DC,由此 即可证明.

【自主解答】∵AF∥CD, ∴∠AFE=∠CDE, 在△AEF和△CED中, ∴△AEF≌△CED, ∴AF=CD,∵AF∥CD, ∴四边形ADCF是平行四边形,

∵∠B=90°,∠ACB=30°,∴∠CAB=60°, ∵AD平分∠CAB, ∴∠DAC=∠DAB=30°=∠ACD, ∴DA=DC, ∴四边形ADCF是菱形.

【微点拨】

菱形的常用判定方法

已有条件 平行四边形
一般四边形

需要条件 邻边相等 对角线互相垂直 每条对角线平分一组对角 四条边都相等 对角线互相垂直平分 对角线互相平分,且每条对角线平分一组对角

知识点二 菱形性质与判定的综合运用 【示范题2】如图,在四边形ABCF中,∠ACB=90°,点E是 AB边的中点,点F恰是点E关于AC所在直线的对称点. (1)证明:四边形CFAE为菱形. (2)连接EF交AC于点O,若BC=10,求线段 OF的长.

【思路点拨】(1)根据直角三角形的性质得到CE= 1 AB 2
=EA,根据轴对称的性质得到AE=AF,CE=CF,得到CE=EA
AF=CF,根据菱形的判定定理证明结论.
(2)根据菱形的性质得到OA=OC,OE=OF,根据三角形中位
线定理求出OE,得到答案.

【自主解答】(1)∵∠ACB=90°,点E是AB边的中点, ∴CE= 1AB=EA.
2 ∵点F是点E关于AC所在直线的对称点,
∴AE=AF,CE=CF,
∴CE=EA=AF=CF,
∴四边形CFAE为菱形.

(2)∵四边形CFAE为菱形,∴OA=OC.OE=OF,又∵E为AB中
点,∴OE= 1BC=5,∴OF=5. 2

【微点拨】 应用菱形的判定与性质解决问题的方法
1.菱形性质的三个应用 (1)菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形, 可将菱形的问题转化为直角三角形去解决.

(2)有一个内角为60°(或120°)的菱形,连接对角线可 构成等边三角形,可将菱形问题转化到等边三角形中去 解决. (3)巧用菱形的对称性可解决一些求线段和最小值的问 题.

2.菱形的判定方法选择 要判定一个四边形是菱形时,可以先说明它是平行四边 形,再说明它的一组邻边相等或对角线垂直;也可说明 它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分.在具体 问题中,要注意根据题目选择合适的方法.

【纠错园】 如图,在?ABCD中,∠BAD的平分线AE与BC相交于点E, ∠ABC的平分线BF与AD相交于点F,AE与BF相交于点O,求 证:四边形ABEF是菱形.

【错因】本题错误应用菱形的判定方法,误认为“对角 线互相垂直的四边形是菱形”.正确的判定方法应为 “对角线互相垂直平分的四边形是菱形”或“对角线 互相垂直的平行四边形是菱形”.


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