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专题16 一元二次不等式的解法(解析版)

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一、选择题

提升训练 2.6 一元二次不等式的解法

1.不等式 x2 1的解集是( )

A.x x 1

B.x | x 1

C.x | 1 x 1 D.x x 1 或 x 1

【答案】D 【解析】 不等式 x2>1, 移项得:x2﹣1>0, 因式分解得:(x+1)(x﹣1)>0, 则原不等式的解集为{x|x<-1 或 x>1}. 故选:D. 2.不等式 x(2-x)<0 的解集是( )

A.(2, )

B.(-, 2)

C.(0,2 )

D.(-,0) 2,

【答案】D 【解析】 ∵x(2﹣x)<0, ∴x(x﹣2)>0, ∵x(x﹣2)=0 的解是 x=0 或 x=2,
∴原不等式的解集是{x|x<0 或 x>2}=(-,0) 2, .

故选:D.

3.不等式 x2 2x 3 0 的解集为( )

A.{x | x 3或 x 1}

B.{x | x 1或 x 3}

C.{x | 1 x 3}

D.{x | 3 x 1}

【答案】D 【解析】

由 x2 2x 3 0 得 (x 3)(x 1) 0 ,解得 3 x 1.

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故选 D
4.已知全集 A. C. 【答案】A 【解析】

,集合

,则 B. D.

()

由题意可得:



表示为区间形式即 . 故选:A.

5.不等式 1 x 0 的解集为(



2 x

A. 2,1

B. 2,1

C. -,-2 U1,+

【答案】B 【解析】



1 2

x x



0



1 x2
2 x 0



x



0



x 12 x 0

即 2 x 0

,解得 2 x 1,

所以不等式的解集是 2,1 ,故选 B.

D. , 2 U1,

6.不等式 x2 mx 1 0 的解集为空集,则 m 的取值范围是(



A. (-2,2)

B.[-2,2]

C. (, 2) (2, )

【答案】B 【解析】

因为不等式 x2 mx 1 0 的解集为空集,

所以 y x2 mx 1 的图象与 x 轴没有交点或有唯一交点,

D. (, 2]U[2, )

x2 mx 1 0 有一个或没有实根,

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V m2 4 0 ,解得 2 m 2 ,

m 的取值范围是[-2,2] ,故选 B.

7.已知集合 A x x2 x 2 , B x x a ,若 A B ,则实数 a 的取值范围为( )

A. , 1

B. ,2

C.2,

D.1,

【答案】C 【解析】

因为 A x x2 x 2 x 1 x 2 , B x x a且 A B ,

所以 a 2 ,即实数 a 的取值范围为2, ,故选 C.

8.已知集合 A {x | (x 1)(x 4) 0}, B {x | x 5 0},则 AI B ( ) x2

A.{x |1 x 2}

B.{x |1 x 2}

C.{x | 2 x 4}

D.{ f (x)max 2 a 1 3 a f (x)min 1 a 1 a

【答案】D

【解析】

依题意 A 1,4, B 2,5,故 A B 2, 4.

9.若不等式 ax2 x a 0 对一切实数 x 都成立,则实数 a 的取值范围为( )

A. a 1 或 a 1

2

2

C. a 1 2

B. a 1 或 a 0 2

D. 1 a 1

2

2

【答案】C

【解析】

显然 a=0,不等式不恒成立,所以不等式 ax2 x a 0 对一切实数 x 都成立,

a 0 则 0 ,

a0 即 1 4a2 0 , 解得 a 1 ,
2

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所以实数 a 的取值范围是 a 1 . 2
故选:C.

10.若关于 x 的一元二次不等式 A. C. 【答案】B 【解析】 由题,因为为一元二次不等式,所以

又因为

的解集为 R

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的解集为 R,则实数 a 的取值范围是( ) B. D.

所以 故选 B

11.已知关于 x 的不等式 x2 ax b 0 的解集是 2,3 ,则 a b 的值是( )

A. 11
【答案】D 【解析】

B.11

C. - 7

D. 7

Q 关于 x 的不等式 x2 ax b 0 的解集是 2,3

方程 x2 ax b 0 的解为: 2 和 3

由根与系数的关系得: a 2 3 1, b 23 6 ,即 b 6

a b 7
本题正确选项:D

12.在 R 上定义运算 : x y=x 1 y ,若对任意 x 2,不等式 x a x a 2 都成立,则实数 a 的

取值范围是( )

A. ,7

B. 1,7

C. ,3
【答案】A 【解析】

D. ,1 U 7,

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由题意可得: x a x x a1 x a 2

即: a x 2 x2 x 2 对任意 x 2 恒成立

Q x2

x2 0

a x2 x 2 x2

设 f x x2 x 2 x 22 3 x 2 4 x 2 4 3

x2

x2

x2

则 f x 2 x 2 4 3 7 (当且仅当 1 1 1 1 ,即 x 4 时取等号)

x2

42 6 7 6 7

即 f xmin 7 a 7,即 a ,7
本题正确选项:A 二、填空题

13. 设 x R ,使不等式 3x2 x 2 0 成立的 x 的取值范围为__________.
【答案】 (1, 2) 3
【解析】

3x2 x 2 0 ,

即 (x 1)(3x 2) 0 ,
即 1 x 2 , 3
故 x 的取值范围是 (1, 2) . 3
14.不等式 2x 1 3 的解集为_____________ x 1
【答案】 (4, 1)

【解析】

由题意,不等式 2x 1 3,即 2x 1 3 2x 1 3x 3 x 4 0 ,

x 1

x 1

x 1

x 1

即 x 4 0 ,即 (x 1)(x 4) 0 ,解得 4 x 1, x 1

即不等式的解集为 4, 1 .

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15.二次不等式

ax2



bx

1



0

的解集为

x

1



x



1

3



,则

ab

的值为_______.

【答案】6

【解析】

二次不等式

ax2



bx

1

0

的解集为

x

1

x



1

3





则 a 0 ,且 ax2 bx 1 0 的两个根为 1和 1 . 3

所以

1



1 3





1



1



b a

,解得

a



3,

b



2

.

3 a

所以 ab 6

16.不等式 (m 1)x2 3(m 1)x m 0 对任意的 x R 恒成立,则 m 的取值范围为___

【答案】



9 13

,1

【解析】

由题意,不等式 m 1 x2 3m 1 x m 0 对任意的 x R 恒成立,

当 m 1 0 时,即 m 1时,此时不等式 1 0 恒成立,满足题意; 当 m 1 0时,即 m 1时,则 [3(m 1)]2 4(m 1)(m) 0 ,即 (m 1)(13m 9) 0 ,解得 9 m 1;
13 当 m 1 0 时,即 m >1 时,此时显然不成立, 综上所述,实数 m 的取值范围是 ( 9 ,1] .
13
三、解答题
17.解下列不等式.

(1)

(2)
【答案】(1) 【解析】

;(2)



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(1) 即 解得 所以不等式的解集为

(2)

等价于

解得



所以不等式的解集为



18.解下列不等式:

(1) 2x2 x 6 0 ;

(2) x2 x 1 0 ;

(3) (3x 1)(x 1) 4 .

【答案】(1){x | 2 x 3};(2) R ;(3){x | x 5 或 x 1}.

2

3

【解析】

(1)由题意,不等式 2x2 x 6 0 ,可化为 2x2 x 6 2(x 2)(x 3) 0 , 2
所以不不等式的解集为{x | 2 x 3}; 2
(2)由题意,可得 x2 x 1 (x 1)2 3 0 ,所以不等式的解集为 R ; 24
(3)由不等式 (3x 1)(x 1) 4 ,可化为 3x2 2x 5 0 ,即 (x 1)(x 5) 0 , 3
所以不等式的解集为{x | x 5 或 x 1}. 3

19.已知 p:

,q:

,且 p 是 q 的充分不必要条件,求 a 的取值范围.

【答案】



【解析】







,由



也就是

或者 ,

因为 是 的充分不必要条件,

,即



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所以 是

的真子集,

所以

或 ,解得



所以 的取值范围是 20.解下列不等式:

或.

(1) x4 x2 2 0 ;

(2) 2x x 1 .

【答案】(1){x | x 2 或 x 2} ;(2){ x | x 1}.
【解析】
(1)由题意,可得不等式 x4 x2 2 (x2 2)(x2 1) 0 ,解得 x2 2 ,

解得 x 2 或 x 2 ,即不等式的解集为{x | x 2 或 x 2} ; (2)设 t x 0 ,则不等式 2x x 1 ,可化为 2t2 t 1 0 , 解得 t 1或 t 1 (舍去),即 x 1 ,解得 x 1,即不等式的解集为{ x | x 1}.
2

21.已知集合 若 ,求 ;

,其中 ,集合





,求实数 的取值范围.

【答案】(1)



【解析】

集合



由 解得 即


,则







,则





,即 ,

可得

,解得



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故 m 的取值范围是

22.已知关于 的不等式

.

(1)若该不等式的解集为

,求 , 的值;

(2)若

,求此不等式的解集.

【答案】(1)

, ;(2)详见解析.

【解析】

(1)根据题意得



解得

,.

(2)当 即 当 当 当

时,

,即 ,即 ,即

. 时,原不等式的解集为 ; 时,原不等式的解集为 时,原不等式的解集为


; .

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