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2020高中数学 第二章 统计 2.2 用样本估计总体 2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布检测

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2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布

A 级 基础巩固

一、选择题

1.下列关于频率分布直方图的说法正确的是( )

A.直方图的高表示取某数的频率

B.直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率

C.直方图的高表示取某组上的个体在样本中出现的频数与组距的比值

D.直方图的高表示取该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值

答案:D

2.一个容量为 32 的样本,已知某组样本的频率为 0.125,则该组样本的频数为( )

A.2

B.4

C.6

D.8

解析:频率=样频本数容量,则频数=频率×样本容量=0.125×32=4.

答案:B

3.某雷达测速区规定:凡车速大于或等于 70 km/h 的汽车视为“超速”,并将受到处罚.如图是某路段的

一个检测点对 300 辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图,则从图中可得出将被处罚的汽车数为

()

A.30 辆 B.40 辆 C.60 辆 D.80 辆 解析:车速大于或等于 70 km/h 的汽车数为 0.02×10×300=60(辆). 答案:C 4.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩(单位:分)分成 6 组:[40,50),[50, 60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],加以统计后得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级 共有学生 600 名,据此估计,该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为( )

A.588 B.480 C.450 D.120 解析:不少于 60 分的学生的频率为

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(0.030+0.025+0.015+0.010)×10=0.8, 所以该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数应为 600×0.8=480. 答案:B 5.有一个容量为 200 的样本,其频率分布直方图如图所示,根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落 在区间[10,12)内的频数为( )

A.18 B.36 C.54 D.72

解析:设样本数据落在区间[10,12)内的频率为 2x,则(0.02+0.05+x+0.15+0.19)×2=1,得 x=0.09,

所以样本数据落在区间[10,12)内的频数为 0.09×2×200=36.

答案:B

二、填空题

6.某市共有 5 000 名高三学生参加联考,为了了解这些学生对数学知识的掌握情况,现从中随机抽出若干

名学生在这次测试中的数学成绩,制成如下频率分布表:

分组/分

频数

频率

[80,90)





[90,100)

0.050

[100,110)

0.200

[110,120)

36

0.300

[120,130)

0.275

[130,140)

12



[140,150]

0.050

合计



根据上面的频率分布表,可以①处的数值为________,②处的数值为________.

解析:由位于[110,120)的频数为

36 36,频率= n =0.300,得样本容量

n=120,

所以[130,140)的频率=11220=0.1,

②处的数值=1-0.050-0.200-0.300-0.275-0.1-0.050=0.025;

①处的数值为 0.025×120=3.

答案:3 0.025

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7.(2015·湖南卷)在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.
若将运动员按成绩由好到差编为 1~35 号,再用系统抽样方法从中抽取 7 人,则其中成绩在区间[139,151] 上的运动员人数是________.
解析:由题意可知,这 35 名运动员的分组情况为,第一组(130,130,133,134,135),第二组(136,136, 138,138,138),第三组(139,141,141,141,142),第四组(142,142,143,143,144),第五组(144,145, 145,145,146),第六组(146,147,148,150,151),第七组(152,152,153,153,153),故成绩在区间[139, 151]上的运动员恰有 4 组,则运动员人数为 4.
答案:4 8.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况,采用简单随机抽样的方法,从该校 200 名授课教师中抽取 20 名教师,调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数,结果用茎叶图表示如下:
据此可估计该校上学期 200 名教师中,使用多媒体进行教学次数在[15,25)内的人数为________. 答案:60 三、解答题 9.某篮球运动员在 2015 赛季各场比赛得分情况如下:12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49, 50.制作茎叶图,并分析这个运动员的整体水平及发挥的稳定程度. 解:该运动员得分茎叶图如下:
从茎叶图中可以粗略地看出,该运动员得分大多能在 20 分到 40 分之间,且分布较为对称,集中程度高,说 明其发挥比较稳定.
10.为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出 频率分布直方图(如图),图中从左到右各小长方形面积之比为 2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组频数为 12.

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(1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少? (2)若次数在 110 以上(含 110 次)为达标,试估计该学校全体高一学生的达标率是多少? 解:(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小,因此第二小组的频率为: 2+4+17+4 15+9+3=0.08.
第二小组的频数 又因为第二小组的频率= 样本容量 , 所以样本容量=第第二二小小组组的的频频数率=01.208=150.
17+15+9+3 (2)由题意估计该学校高一学生的达标率约为2+4+17+15+9+3×100%=88%.
B 级 能力提升 1.为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组 区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二 组,…,第五组,如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有 20 人,第三组中没有 疗效的有 6 人,则第三组中有疗效的人数为( )

A.6

B.8

C.12

D.18

解析:志愿者的总人数为(0.16+200.24)×1=50,所以第三组的人数为 50×0.36=18,有疗效的人数为 18

-6=12.

答案:C

2.从某小学随机抽取 100 名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图所示).由

图中数据可知 a=________.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样

的方法选取 18 人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________.

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解析:因为直方图中的各个矩形的面积之和为 1,所以有 10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1,解得 a=0.03.由直方图可知三个区域内的学生总数为 100×10×(0.030+0.020+0.010)=60,其中身高在[140,150] 内的学生人数为 10,所以从身高在[140,150]内抽取的学生人数为6108×10=3.
答案:0.03 3 3.为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度,随机选取了 14 天,统计上午 8:00~10:00 各自的点击量,得 到如图所示的茎叶图,根据茎叶图回答下列问题.
(1)甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少? (2)甲网站点击量在[10,40]间的频率是多少? (3)甲、乙两网站哪个更受欢迎?并说明理由. 解:(1)甲网站的极差为:73-8=65,乙网站的极差为: 71-5=66. (2)144=27≈0.286. (3)甲网站的点击量集中在茎叶图的下方,而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方,从数据的分布情况来看, 甲网站更受欢迎.


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