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天津市高中数学 第3讲 函数的基本性质寒假课程学案 新人教版

第三讲 函数的基本性质
一、知识梳理 1.奇偶性
(1)定义:设函数 y = f (x) 的定义域为 D ,如果对于 D 内任意一个 x ,都有 x D ,且 f (x) = - f (x) ,那么这个函数叫做奇函数.
设函数 y = g(x) 的 定义域为 D ,如果对于 D 内任意一个 x ,都有 x D ,且 g(x) = g(x) ,那
么这个函数叫做偶函数. (2)如果函数 f (x) 不具有上述性质,则 f (x) 不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则
f (x) 既是奇函数,又是偶函数. 函数是奇函数或是偶函数的性质称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质. (3)由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 x ,
则 x 也一定在定义域内.即定义域是关于原点对称的点集.
(4) 图象的对称性质:一个函数是奇函数当且仅当它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的当 且仅当它的图象关于 y 轴对称.
(5)奇偶函数的运算性质:设 f (x) , g(x) 的定义域分别是 D1, D2 ,那么在它们的公共定义域上:
奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. (6)奇(偶)函数图象对称性的推广:
若函数 f (x) 的图象关于直线 x a 对称,则 f (x) f (x 2a) ; 若函数 f (x) 的图象关于点 (a,0) 对称,则 f (x) f (x 2a) .
2.单调性
(1)定义:一般地,设函数 y f (x) 的定义域为 A ,区间 I A.
如果对于区间 I 内的任意两个值 x1 ,x2 ,当 x1 x2 时,都有 f (x1) f (x2 ) ,那么就说 y f (x) 在区间 I 上是单调增函数, I 称为 y f (x) 的单调增区间;
如果对于区间 I 内的任意两个值 x1 ,x2 ,当 x1 x2 时,都有 f (x1) f (x2 ) ,那么就说 y f (x) 在区间 I 上是单调减函数, I 称为 y f (x) 的单调减区间.
(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质. (3)设复合函数 y f (g(x)) ,其中 u g(x) ,A 是 y f (g(x)) 定义域的某个区间,B 是映射
g : x → u g(x) 的象集.

①若 u g(x) 在 A 上是增(或减)函数, y f (u) 在 B 上也是增(或减)函数,则函数 y f (g(x)) 在 A 上是增函数;
②若 u g(x) 在 A 上是增(或减)函数,而 y f (u) 在 B 上是减(或增)函数,则函数 y f (g(x)) 在 A 上是减函数.
(4)奇偶函数的单调性 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反. ③在公共定义域内: 增函数 f (x) 增函数 g(x) 是增函数; 减函数 f (x) 减函数 g(x) 是减函数; 增函数 f (x) 减函数 g(x) 是增函数; 减函数 f (x) 增函数 g(x) 是减函数. 3.最值 (1)定义:
设函数 y = f (x) 的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x ∈I,都有 f (x) ≤M;②存在 x0 ∈I,使得 f (x0 ) =M,那么,称 M 是函数 y = f (x) 的最大值.
设函数 y = f (x) 的定义域为 I,如果存在实数 m 满足:①对于任意的 x ∈I,都有 f (x) ≥ m ;②存 在 x0 ∈I,使得 f (x0 ) = m ,那么,称 m 是函数 y = f (x) 的最小值.
(2)函数最大(小)值首先应该是某一个函数值,即存在 x0 ∈I,使得 f (x0 ) =M( m );函数最大 (小)值应该是所有函数值中的最大(小)者,即对于任意的 x ∈I,都有 f (x) ≤M( f (x) ≥ m ).
二、方法归纳 1.利用定义判断函数奇偶性的方法
(1)首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; (2)确定 f (x) 与 f (x) 的关系; (3)作出相应结论: 若 f (x) = f (x) 或 f (x) - f (x) = 0,则 f (x) 是偶函数; 若 f (x) =- f (x) 或 f (x) + f (x) = 0,则 f (x) 是奇函数. 2.利用定义证明或判断函数单调性的步骤
(1)任取 x1 , x2 ∈D,且 x1 < x2 ;

(2)作差 y f (x1) f (x2 ) ;
(3)变形(通常是 因式分解和配方);

(4)定号(即判断差 y f (x1) f (x2 ) 的正负); (5)下结论(即指出函数 f (x) 在给定的区间 D 上的单调性).
3.求函数最大(小)值的 一般方法 (1)求值域进而得到最大(小)值.求函数的值域的常见方法:直接法、配方法、换元法、判别式法、
数形结合法、反函数法、单调性法等等. (2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值. (3)利用函数的图象求函数的最大(小)值;
三、典型例题精讲 【例 1】判断下列函数的奇偶性.

(1) f (x) (x 1) 1 x ; (2) f (x) lg(1 x2 ) .

1 x

x2 2

错解分析:(1)∵ f (x) (x 1) 1 x (x 1)2 1 x (x 1)(1 x) x2 1 .

1 x

1 x

显然有 f (x) = f (x) ,∴ f (x) 为偶函数.

(2)∵ f (x) lg(1 x2 ) lg(1 x2 ) ,于是 f (x) ≠ f (x) 且 f (x) ≠- f (x) . x2 2 x2 2

∴ f (x) 为非奇非偶函数.

解析:(1)∵ f (x) 的定义域为 1 x ≥0,即-1≤ x <1. 1 x
定义域不是关于原点对称的数集,∴ f (x) 为非奇非偶函数.

(2)∵ f (x) 的定义域为1 x2 0 且 x 2 2 ≠0,即-1< x <1 且 x ≠0,此时 x 2 0 .

∴ f (x) lg(1 x2 ) lg(1 x2 ) ,∴ f (x) 为奇函数. x2 2 x

技巧提示:正确判定函数的奇偶性,必须先考虑函数的定义域. 又例:判断下列函数的奇偶性.

(1) f (x) 1 x2 ; x5 5

(2)

f

(x)



x2 x



x2



x

(x 0) (x 0)



(3) f (x) 3 x2 x2 3 .

解析:(1)∵ 1 x 2 ≥0,即-1≤ x ≤1.此时 x 5 5 x ,∴ f (x) 1 x 2 ,为奇函数. x
(2)当 x >0,- x <0 时, f (x) = x2 x , f (x) = (x)2 (x) x 2 x , f (x) =- f (x) ; 当 x <0,- x >0 时, f (x) = x2 x , f (x) = (x)2 (x) x2 x , f (x) =- f (x) ; ∴ f (x) 为奇函数.
(3)∵ f (x) 3 x2 x2 3 的定义域为 x | x 3 . 此时函数化为 f (x) =0, x | x 3 .
∴ f (x) 既是奇函数又是偶函数.

【例 2】讨论函数 f (x) 16 x 1 2 x 的奇偶性. 2x
解析:函数定义域为 R,

又 f (x)

16x 1 2x 2x

2x

1 16 x

1 1

=2x

1 16 x 4x

1

16 x 1 2 x 2x



f (x) .

∴ f (x) 为偶函数.

技巧提示:判断函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的 定义域,若

函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变).

如本题亦可先化简: f (x)

16 x 1 1 2x

4 x 4x 1,显然 f (x) 为偶函数.

从这可以看出,化简后再解决要容易得多.

又例:证明函数 f (x) 1og2 ( x2 1 x) 为奇函数. 解析:∵ f (x) + f (x) =1og2 ( x2 1 x) +1og2 ( x2 1 x)
=1og2[( x2 1 x)( x2 1 x)]=1og21=0 ∴ f (x) 为奇函数.

再例:讨论函数 f (x) a 2 x2 ( a ≠0)的奇偶性. | x a | a

解析:∵ x 2 ≤ a 2 ,∴ 要分 a >0 与 a <0 两类讨论.

(i)当

a

>0

时,由

a x a | x a | a

,函数的定义域为

[a,0) (0, a] ,

∵ x a ≥0, ∴ f (x) a 2 x 2 , f (x) 为奇函数; x

(ii)当

a

<0

时,由

a x a | x a | a

,函数的定义域为 a,

0

U0,

a



∵ x a ≤0, ∴ f (x) a 2 x 2 , f (x) 既不是奇函数,也不是偶函数. x 2a

【例 3】求函数 y log0.7 (x2 3x 2) 的单调区间.

错解分析:设 t(x) x2 3x 2 (x 3)2 1 , 24

∴ (, 3) 为函数 t(x) 的单调递减区间; ( 3 ,) 为函数 t(x) 的单调递增区间.

2

2

又 y log 0.7 (x 2 3x 2) log 0.7 t 为 t 的减函数,



(,

3) 2

为函数

y



log0.7

(x2



3x



2)

的单调递增区间;

(

3 2

,)

为函数

y



log0.7

(x2



3x



2)

的单调递减区间.

解析:设 t(x) x2 3x 2 , 由 x2 3x 2 0 得函数的定义域为 (,1) (2,) ,

区间 (,1) 和 (2,) 分别为函数 t(x) x2 3x 2 的单调递减区间和单调递增区间.

又 y log 0.7 t ,根据复合函数的单调性的规则, 得区间 (,1) 和 (2,) 分别为函数 y log 0.7 t 的单调递增区间和单调递减区间.
技巧提示:函数的单调区间是包含在定义域内的某个区间,因 此,求函数的单调区间必须考虑函数的 定义域.运用复合函数的单调性规则求函数的单调区间时,要考虑各个基本函数都要有意义.

又例:设函数 f (x) = x a ( a > b >0),求 f (x) 的单调区间,并证明 f (x) 在其单调区间上的单 xb
调性.

解析:在定义域内任取 x1 < x2 ,



f (x1 )

f

(x2

)



x1 x1



a b



x2 a x2 b



(b a)( x1 x2 ) (x1 b)( x2 b)



∵ a > b >0,∴ b - a <0, x1 - x2 <0,

只有当 x1 < x2 <- b 或- b < x1 < x2 时函数才单调.

当 x1< x2 <- b 或- b < x1 < x2 时 f (x1 ) f (x2 ) >0.

∴(- b ,+∞)和(-∞,- b )都是函数 f (x) 的单调减函数区间.

【例

4】设 a



0,

f

(x)



ex a



a ex

是R

上的偶函数.

(1) 求 a 的值;(2)证明 f (x) 在 (0, ) 上为增函数.

解析: (1)依题意,对一切 x R ,有

f

(x)



f

(

x)

,即

1 ae

x

aex



ex a



a ex

.

∴ (a



1 )(ex a



1 ex

)



0

对一切 x R 成立,

则 a 1 0 ,即 a 1.∵ a 0 ,∴ a 1. a

(2)设 0



x1



x2 ,则

f

(x1)

f

(x2 )



e x1

ex2



1 ex1



1 e x2

(ex2 ex1 )(

1

1) ex1 (ex2 x1

1 ex2 x1 1)



ex1 x2

ex2 x1

由 x1 0, x2 0, x2 x1 0 ,得 x1 x2 0, ex2 x1 1 0 ,1 ex2 x1 0 ,

∴ f (x1) f (x2 ) 0 ,

即 f (x1) f (x2 ) ,∴ f (x) 在 (0, ) 上为增函数.
技巧提示:两小题都只要抓住偶函数、增函数的定义解决问题就不难.两小题中变形的都是因式分解, 第(2)小题的变形以容易判别符号为目标.

又例:已知 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,且在[0,) 上为减函数,若 f ( a2 a 2) f (2a 1) , 求实数 a 的取值范围.
解析: f (x) 是 R 上的偶函数且在[0,) 上为减函数.

∴由 f ( a2 a 2) f (2a 1) ,有| a2 a 2 || 2a 1| ,





a

2

a2 a



a 2



20 (2a 1)2

,解得

a

≤ -1



a

≥2.

再例:二次函数 f (x) 的二次项系数为正,且对任意实数 x ,恒有 f (2 x) = f (2 x) ,若 f (1 2x 2 )

< f (1 2x x2 ) ,则 x 的取值范围是_________. 解析:由二次函数 f (x) 的二次项系数为正,知函数的图象为开口向上的抛物线, 由 f (2 x) = f (2 x) ,知 x =2 为对称轴,
于是有结论:距对称轴较近的点的纵坐标较小.
∴ 1 2x2 2 1 2x x2 2

即 2x2 1 (x 1)2 , 2x 2 1 (x 1)2

∴-2< x <0.

【例 5】已知 f (x) 是定义在 R 上的增函数,对 x ∈R 有 f (x) >0,且 f (5) =1,设 F(x) = f (x) + 1 , f (x)
讨论 F(x) 的单调性,并证明你的结论.

解析:在 R 上任取 x1 、 x2 ,设 x1 < x2 ,∴ f (x1 ) < f (x2 ) ,

F (x2 ) F (x1 ) [ f (x2 )

f

1 (x2

)

]



[

f

(

x1

)



1 ]
f (x1 )

[ f (x2 )

f (x1 )][1

1 ], f (x1 ) f (x2 )

∵ f (x) 是 R 上的增函数,且 f (5) =1,

∴当 x <5 时 0< f (x) <1,而当 x >5 时 f (x) >1;

① 若 x1 < x2 <5,则 0< f (x1 ) < f (x2 ) <1,∴0< f (x1 ) f (x2 ) <1,

∴1

f

(

x1

1 )f

(

x2

)

<0,∴

F

(

x2

)



F

(

x1

)



② 若 x2 > x1 >5,则 f (x2 ) > f (x1 ) >1 ,∴ f (x1 ) f (x2 ) >1,

∴1

f

(

x1

1 )f

(

x

2

)

>0,∴

F

(

x2

)



F

(

x1

)

.

综上, F(x) 在(-∞,5)为减函数,在(5,+∞)为增函数.

技巧提示:该题属于判断抽象函数的单调性问题.抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题, 其基本能力是变量代换、换元等,应熟练掌握它们的这些特点.

又例:已知函数 f (x) 的定义域关于原点对称,且满足:

(1)

f (x1 x2 )

f (x1 ) f (x2 ) 1 ; f (x2 ) f (x1 )

(2)存在正常数 a ,使 f (a) =1.

求证:(Ⅰ) f (x) 是奇函数;(Ⅱ) f (x) 是周期函数,并且有一个周期为 4 a .

解析:(Ⅰ)设 t x1 x2 ,则

f (t)

f (x2 x1 )

f (x2 ) f (x1 ) 1 f (x1 ) f (x2 )





f (x1 ) f (x2 ) 1 f (x2 ) f (x1 )



f

( x1



x2 )

f (t)

所以函数 f (x) 是奇函数.

(Ⅱ)令 x1 2a,x2

a ,则 f (a)

f (2a) f (a) 1 f (a) f (2a)

即1 f (2a) 1 ,解得: f (2a) =0. 1 f (2a)

于是有 f (x 2a) f (x) f (2a) 1 f (x) [ f (2a)] 1 1 .

f (2a) f (x) f (2a) f (x)

f (x)

所以 f (x 4a) 1 1 f (x) . f (x 2a) 1 f (x)
因此,函数 f (x) 是周期函数,并且有一个周期为 4 a .

【例 6】设函数 f (x) = x 1 .对任意 x [1,) ,有 f (mx) mf (x) 0 恒成立,则实数 m 的取值范围 x



.

解析:方法一 :显然 m ≠0,由于函数 f (x) = x 1 在 x [1,) 上是增函数, x
则当 m >0 时, f (mx) mf (x) 0 不恒成立,因此 m <0. 当 m <0 时,函数 h(x) f (mx) mf (x) 在 x [1,) 上是减函数,

因此,当 x 1时, h(x) 取得最大值 h(1) m 1 , m
故 h(x) f (mx) mf (x) 0 恒成立等价于 h(x) 在 x [1,) 上的最大值小于零,

即 h(1)



m



1 m



0 ,解

m

1 m
m

0

0

,得 m

<-1.

于是实数 m 的取值范围是 (,1) .

方法二 :显然 m ≠0,由于函数 f (x) = x 1 在 x [1,) 上是增函数, x
则当 m >0 时, f (mx) mf (x) 0 不恒成立,因此 m <0.

若 f (mx) mf (x) mx 1 mx m = 2m2 x2 1 m2 <0 恒成立,

mx

x

mx

因为 x [1,) , m <0,则需 2m2 x2 1 m2 >0 恒成立,

设函数 g(x) 2m2 x2 1 m2 ,则 g(x) 在 x [1,) 时为增函数,

于是 x 1时, g(x) 取得最小值 g(1) m2 1 .



m2

1



0

,得

m

<-1.

m0

于是实数 m 的取值范围是 (,1) .

方法三 :显然 m ≠0,由于函数 f (x) = x 1 在 x [1,) 上是增函数, x
则当 m >0 时, f (mx) mf (x) 0 不恒成立,因此 m <0. 因为对任意 x [1,) , f (mx) mf (x) 0 恒成立, 所以对 x 1,不等式 f (mx) mf (x) 0 也成立,

于是 f (m) mf (1) 0 ,即 m 1 0 , m



m



1 m



0 ,得 m

<-1.

m 0

于是实数 m 的取值范围是 (,1) .

技巧提示:这是一个“恒成立”问题函数,本题提供了三种解法,其中方法一和方法二较好地应用了

函数的单调性.函数 f (x) = x 1 在 (,0) 和 (0,) 上都是增函数.在 (,1) 和 (0,1) 上小于零;在 x
(1,0) 和 (1,) 上大于零.

又例:已知函数 f (x) = x 2 a (x 0, a R) , x
(1)判断函数 f (x) 的奇偶性; (2)若 f (x) 在区间[2,) 是增函数,求实数 a 的取值范围。

解析:(1)当 a 0 时, f (x) x2 为偶函数;

当 a 0 时, f (x) 既不是奇函数也不是偶函数.

(2)设 x2

x1 2 , f (x1 )

f (x2 ) x12

a x1



x22



a x2



x1 x2 x1x2

[ x1 x2

(

x1



x2

)



a]

由 x2 x1 2 ,得 x1x2 (x1 x2 ) 16 ,

又 x1 x2 0 , x1x2 0 ,

要使 f (x) 在区间[2,) 上是增函数,只需 f (x1) f (x2 ) 0 .

即 x1x2 (x1 x2 ) a 0 恒成立, ∴解得 a 16.
四、课后训练

1.若函数 f (x)

x

为奇函数,则 a =(



(2x 1)( x a)

A. 1

B. 2

C. 3

D.1

2

3

4

2.设函数 f (x) 和 g(x) 分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )

A. f (x) +| g(x) |是偶函数 C.| f (x) |+ g(x) 是偶函数

B. f (x) -| g(x) |是奇函数 D.| f (x) |- g(x) 是奇函数

3.已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 和偶函数 g(x) 满足 f (x) g(x) ax ax 2 (a 0 ,且 a 1) ,若

g(2) a ,则 f 2 ( )

A. 2

B. 15 4

C. 17 4

D. a 2

4.函数 f (x) 是定义在 (3,3) 上的奇函数,当 0 x 3时,f (x) 得图象如图所示,那么不等式 f (x) 0 的

解集是( ) A. (1,3) ∪ (1,0)

B. (1,0) ∪ (0,1)

C. (1,3) ∪ (3,1)

D. (3,1) ∪ (0,1)

y

o1

3

x

5.已知 f (x) 在 R 上是奇函数,且 f (x 4) f (x), 当 x (0,2) 时, f (x) 2x 2 ,则 f (7) (



A.-2

B.2

C.-98

D.98

6.已知定义域为 R 的函数 f (x) 在 (8,) 上为减函数,且函数 y f (x 8) 为偶函数,则( )

A. f (6) > f (7) C. f (7) > f (9)

B. f (6) > f (9) D. f (7) > f (10)

7.已知

f

(x)



a(2x 1) 2x 1

2

是奇函数,那么实数

a

的值等于

.

8.已知 f (x) x5 ax3 bx 8 且 f (2) 10 ,那么 f (2) ______.

9.函数 f (x) log 5 (2x 1) 的单调增区间是__________

10.判断函数 g(x) x x 的奇偶性. 2x 1 2

11.函数 f (x) 的定义域为 D:{x | x 0} ,且满足对于任意 x1, x2 D ,有 f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) .
(Ⅰ)求 f (1) 的值;
(Ⅱ)判断 f (x) 的奇偶性并证明;
(Ⅲ)如果 f (4) 1, f (3x 1) f (2x 6) 3 ,且 f (x) 在 (0,) 上是增函数,求 x 的取值范围.

五、参考答案 1.答案:A 2.答案:A 3.答案:B
解析:由条件 f 2 g2 a2 a2 2 , f 2 g 2 a2 a2 2 , 即 f 2 g2 a2 a2 2 ,由此解得 g2 2 , f 2 a2 a 2 ,
所以 a 2 , f 2 22 22 15 ,所以选 B.
4
4.答案: D 5.答案:A
6.答案:D

解析:由函数 y f (x 8) 为偶函数知 y f (x) 的图像关于直线 x 8 对称,又函数 f (x) 在 (8,) 上为

减函数知 y f (x) 在 (,8) 上是增函数,由而可以比较大小. 7.答案:1

解析:∵

f

(x)

=a

2
1 2x

为奇函数,∴

f

(0) =0,故 a

=1.

8.答案:-26

9.答案: ( 1 ,) 2

10.解析:由 x 0 ,知 x 0 ,

因为

g(x)

g(x)







2



x

x 1

x 2







2

x

x

1



x 2



x(2 x 1) 2x 1



x



xx

0,

所以 g(x) 是偶函数. 11.解析:(Ⅰ)令 x1 x2 1,有f (11) f (1) f (1) , f (1) 0.
(Ⅱ)令 x1 x2 1, 有f [(1) (1)] f (1) f (1),解得f (1) 0 令 x1 1, x2 x有f (x) f (1) f (x), f (x) f (x). ∴ f (x) 为偶函数.
(Ⅲ) f (4 4) f (4) f (4) 2, f (16 4) f (16) f (4) 3. ∴ f (3x 1) f (2x 6) 3即f [(3x 1)(2x 6)] f (64) (1)

∵ f (x) 在 (0,) 上是增函数,

∴(1)等价于不等式组:

(3x (3x



1)(2x 1)(2x



6) 6)



60,4,或 (3(x3x

1)(2x 1)(2x

6) 6)

0, 64.

解得

x


7 3

3或x x 5,

1 3

,或 x

1 3

R

x



3,

∴ 3 x 5或 7 x 1 或 1 x 3.

3

33

∴x 的取值范围为{x | 7 x 1 或 1 x 3或3 x 5}.

3

33


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