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黑龙江省哈尔滨市2017届高三上学期期末考试数学(理)试题 含答案

哈尔滨市第六中学 2019-2020 学年度上学期期末考试

高三理科数学

一、选择题(共 12 小题,每题 5 分,共 60 分)

1.复数 3 i 1 等于( ) 1 3i i

A. 3 i

B. 2i

C. 2i

D.0

2.等比数列{an} 中, a3



9

,前

3

项和为 S3



3

3 0

x2dx ,则公比 q 的值是(



A. 1

B.- 1 2

C. 1 或- 1 2

3. 已知 cos2 ( x ) cos(x ) ,则 cos x ( )

24

6

D. -1 或- 1 2

A. 3 3

B. 3 3

C. 1 3

D 1 . 3

y x 4.已知 x, y 满足不等式组 x y 2 ,则 z 2x y 的最大值与最小值的比值为( )
x 2

A. 1

B. 2

2

C. 3

D. 4

2

3

5.下列选项中,说法正确的个数是( )

(1)命题“ x0 R , x02 x0 0 ”的否定为“ x R, x2 x 0 ”; (2)命题“在 ABC 中, A 30o,则 sin A 1 ”的逆否命题为真命题;
2
(3)设an 是公比为 q 的等比数列,则“ q 1 ”是“an 为递增数列”的充分必要条件;

(4)若统计数据 x1 , x2 , , xn 的方差为 1,则 2x1,2x2 , ,2xn 的方差为 2;
(5)若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数绝对值越接近 1.

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

6. 某校组织由 5 名学生参加的演讲比赛,采用抽签法决定演讲顺序,在“学生 A 和 B 都不是第一个出场,

B 不是最后一个出场”的前提下,学生 C 第一个出场的概率为( )

A. 1 3

B. 1 2

C. 1 9

D. 3 20

7.如图,给出的是求 1 1 1 …… 1 的值的一个程序框图,

246

20

则判断框内填入的条件是( )

A. i 10

B. i 10

C. i 9

D. i 9

8.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于( )

开始

S 0, n 2,i 1

输出 S 结束



?



SS1 n

nn2

i i 1

A.12

B.4

C. 56

D. 8 3

3

3

9.某同学为了解秋冬季用电量( y 度)与气温( xC )的关系,曾由下表数据计算出回归直线方程为


y 2x 60 ,现表中一个数据被污染,则被污染的数据为( )

气温 18

13

10

-1

用电量 24

34



64

A.40

B. 39

C.38

D. 37

10.若实数 x,y 满足|x-1|-ln 1 =0,则 y 关于 x 的函数图象的大致形状是( ) y

A

B

C

D

11.从抛物线 y 2 4x 的准线 l 上一点 P 引抛物线的两条切线 PA, PB , A, B 为切点,若直线 AB 的倾斜

角为 ,则 P 点的纵坐标为( ) 3

A. 3 3

B. 2 3 3

C. 4 3 3

D. 2 3

12. 若 方 程 x2 2x 1 t 0 有 四 个 不 同 的 实 数 根 x1, x2 , x3 , x4 , 且 x1 x2 x3 x4 则

2(x4 x1 ) (x3 x2 ) 的取值范围是( )

A.[8,6 2]

B. 6 2,4 5

C. 8,4 5

D. 8,4 5

二、填空题:(共 4 题,每题 5 分,共 20 分)

13.在 2x2 1 5 的二项展开式中, x 的系数为

.

5x

14. 在直三棱柱 ABC A1B1C1 中,侧棱长为 2 3 ,在底面 ABC中, C 60, AB 3 ,则此直三

棱柱的外接球的表面积为

.

15.已知点

F1

,

F2

分别是双曲线

x a

2 2



y2 b2

1(a

0, b 0) 的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线的左、

右两支分别交于 A, B 两点,若| AB |: | BF2 | :| AF2 | 3 : 4 : 5 ,则双曲线的离心率为

.

16. ABC中, b(tan A tan B) 2c tan B, BC 边上中线长是 1,则 a 的最小值是

.

三、解答题:(共 70 分)
17.(共 12 分)已知数列an 满足 Sn 2an 1 n N ,bn 是等差数列,且 b1 a1,b4 a3 .

(1)求数列{an } 和{bn} 的通项公式;

(2)若 cn



1 an



2 bn bn 1

(n N*) ,求数列{cn }的前 n 项和Tn .

18.(共 12 分)2015 年 12 月 10 日, 我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献 获得诺贝尔医学奖,以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法, 目前,国内青蒿人工种植发展迅速,调查表明,人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空
气湿度的指标有极强的相关性,现将这三项的指标分别记为 x, y, z ,并对它们进行量化:0 表示不合 格,1表示临界合格, 2 表示合格,再用综合指标 x y z 的值评定人工种植的青蒿的长势等 级:若 4 ,则长势为一级;若 2 3 ,则长势为二级;若 0 1,则长势为三级;为了了
解目前人工种植的青蒿的长势情况,研究人员随机抽取了10 块青蒿人工种植地,得到如下结果: 种植地编
x, y, z
种植地编
x, y, z
(1)在这 10 块青蒿人工种植地中任取两地,求这两地的空气湿度的指标 z 相同的概率;
(2)从长势等级是一级的人工种植地中任取一地,其综合指标为 m ,从长势等级不是一级的人工种植地
中任取一地,其综合指标为 n ,记随机变量 X m n ,求 X 的分布列及其数学期望.
19.(共 12 分)如图,已知长方形 ABCD 中, AB 2, AD 1, M 为 DC 的中点,将 ADM 沿 AM
折起,使得平面 ADM 平面 ABCM .

(1)求证: AD BM ; (2)若点 E 是线段 DB 上的一动点,问点 E 在何位置时,二面角 E AM D 的余弦值为 2 5 .
5

20.(共 12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O : x2 y2 4 ,椭圆 C : x2 y2 1, A 为 4

椭圆右顶点.过原点 O 且异于坐标轴的直线与椭圆 C 交于 B, C 两点,直线 AB 与圆 O 的另一交点

为 P ,直线 PD 与圆 O 的另一交点为 Q ,其中 D( 6 , 0) .设直线
5
AB, AC 的斜率分别为 k1, k2 .

y
P B

(1)求 k1k2 的值;
(2)记直线 PQ, BC 的斜率分别为 kPQ , kBC ,是否存在常数 ,使
kPQ kBC ?若存在,求 值;若不存在,说明理由.

D

O

C Q

Ax


21.(共 12 分)已知函数 f x x2 a 2 x a ln x ,其中常数 a 0 .

(1)当 a 2 ,求函数 f x 的单调递增区间;

(2)设定义在

D

上的函数

y



h



x



在点

P



x0

,

h



x0



处的切线方程为

l

:

y



g



x



,若

h



x
x

g
x0

x





0

在 D 内恒成立,则称 P 为函数 y h x 的“类对称点”,当 a 4 时,试问 y f x 是否存在“类对

称点”,若存在,请至少求出一个“类对称点”的横坐标;若不存在,请说明理由.

请考生在题(22)(23)中任选一题作答,如果多做,则按所做的的第一题计分.做题时用 2B 铅笔在答题 卡上把所选题目对应的题号涂黑.

22. ( 共 10 分 ) 已 知 曲 线 C1 的 极 坐 标 方 程 为 4cos , 曲 线 C2 的 参 数 方 程 是

x



y

m t cos(t为参数,0 t sin

) ,射线

,





4

,





4

与曲线 C1 交于极点 O 外的

三点 A, B,C .

(1)求 | OB | | OC | 的值; | OA |

(2)当



12

时,

B, C

两点在曲线 C2

上,求 m



的值.

23.(共 10 分)已知 a, b, c 都是正数. (1)若 a b ,求证: a3 b3 a2b ab2 ; (2)求证: a2b2 b2c2 c2a2 abc.
abc

高三理科数学答案

1-12 DCABA ABBCB BD 13.

14.

15.

16.

a 2 17.(1)由 Sn 2an 1, 可得 Sn1 2an1 1,两式作差可得 an1 Sn1 Sn 2n1 ,又 a1 S1 1适合此通项公式,所以 n

n1 ;

由 此 可 得 b1 a1 1, b4 a3 4, 由 等 差 数 列 的 性 质 可 得 bn n ;( 2 ) 由 题 意 写 出 数 列 cn 的 通 项 公 式

cn



1 an



2 bnbn1



21n



2



1 n



1 ,再用分组求和法求之即可.
n 1

试题解析: (1) Sn 2an 1, Sn1 2an1 1,两式相减可得 Sn1 Sn an1 2an1 2an ,an1 2an ,

当 n 1 时 , S1 a1 2a1 1,a1 1 , 所 以 an 是 以 1 为 首 项 , 2 为 公 比 的 等 差 数 列 , 所 以 an 2n1 ,

b1 a1 1, b4 a3 4,bn n .

(2)



cn



1 an



2 bnbn1



21n



2
n n 1



21n

2

1 n



1 n 1

Tn



1

1 2n

1 1



2 1

1 2



1 2



1 3



...

1 n



1 n 1



2



1 2n1



2

1



n

1 1





2 21n n 1

2

18.(1)由表可知:空气温度指标为 0 的有 A1 ;空气温度指标为1的有 A2 , A3, A5 , A8, A9 , A10 ,空气温度指标为 2 的有

A4 ,

A6, A7

.所以空气温度指标

z

相同的概率
P

C62

C32

15 3



2

.

C120

45 5

(2)计算10 块青蒿人工种植地的综合指标, 可得下表:

编号

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

综合指标 1

4

4

6

2

4

5

3

5

3

其中长势等级是一级的 4 有 A2 , A3, A4 , A6 A7 , A9 ,共 6 个,长势等级不是一级的 4 有 A1, A5, A8, A10 ,

共 4 个.随机变量

X

的所有可能取值为:1, 2, 3, 4, 5 . P X

1



C31 C21 C61 C41



1,PX
4

2

C31 C11 C21 C21 C61 C41



7, 24

X P

X 3

C31 C11 C21 C11 C21 C11 7 , P

C61 C41

24

X 4



C11 C11 C21 C11 C61 C41

1 ,PX
8

5

C11 C11 C61 C41



1 ,所以
24

的分布列为:

X

1

2

3

4

5

P

1 4

7 24

7

1

1

24

8

24

所以 E X 1 1 2 7 3 7 4 1 5 1 29 .
4 24 24 8 24 12

19.(1)因为平面 AMD 平面 ABCM , AB 2, AD 1, M 为 DC 的中点,

AD DM ,取 AM 的中点 O ,连结 OD ,则 DO 平面 ABCM ,取 AB 的中点 N ,

连结 ON ,则 ON AM ,以 O 为原点如图建立空间直角坐标系,根据已知条件,得

AD BM
A

2 2

, 0, 0 ,

B



2, 2

2, 0 , M

2 2

, 0, 0 ,

D

0, 0,

2 2



,则

uuur AD







2 , 0, 2

2 2





uuuur BM



0,

2,0

,所以

uuur AD



uuuur BM



0

,故



uuur uuur

r

(2)设 DE DB ,因为平面 AMD 的一个法向量 n

0,1, 0

,uuur uuuur uuur
ME MD DB

2 2

2 , 2

2 , 2

2 2

2 2





,uAuMuur





2, 0, 0 .

ur

设平面 AME 的一个法向量为 m x, y, z ,



2x 0



2 y

2 1 z 0



2



y



1,得

x



0,

y

1,

z



2 1

,所以

ur m





0,1,

2 1



,因为

cos

ur r m, n



ur r umr nr mn

5 ,求得 1

5

5

20.(1)设

Bx0 ,

y0 ,则 C

x0 , y0



x0 2 4



y02

1

所以 k1k2



y0 y0 x0 2 x0 2



y0 2 x02 4



1

1 4

x0 2

x02 4

1 4

(2)联立 y k1(x 2)



x2



y2



4



(1

k12 ) x2



4k12 x



4(k12

1)



0



解得

xP



2(k12 1

1) k12

,

yP



k1 ( xP

2)

4k1 1 k12

,联立



y x2

4

k1 (x 2) 得 (1 4k12 )x2 y2 1

16k12 x 4(4k12

1)



0,

解得 xB



2(4k12 1) ,

1 4k12

yB

k1 ( xB



2)



4k1 1 4k12

所以
kBC



yB xB



2k1 4k12 1



kPQ



yP

xP



6 5



4k1

1 k12

2(k12 1

1) k12



6 5



, 5k1 4k12 1

所以 kPQ



5 2

kBC ,故存在常数



5 2

,使得
k PQ



5 2

k BC



21. ( 1 ) 函 数 f x 的 定 义 域 为 0, , ∵ f x x2 a 2 x aln x , ∴

a 2 x 0 f

x



2x a



2

a



2x2

a



2

x



a



2



x



a 2





x

1

,∵

x

x

x

,∴

a 2

1,令

f

x

0,即

2



x



a 2





x

1

x



,∵
0





0



x

1或

x



a 2

,所以函数

f



x

的单调递增区间是

0,1

,



a 2

,







a 4 (2)当

时,

f

x



x2

6x 4ln x ,∴

f

x



2x

4 x


6

y



g x



2x0



4 x0



6





x





x0

x02

6x0

4 ln

x0



令 x



f

x

gx



x2

6x



4 ln

x

2x0




4 x0

6x


x0



x02

6x0



4 ln

x0



则 x0



0

, x



2x



4 x



6



2x0



4 x0



6



2

x



x0



1



2 x0 x





2 x0

x



x0



x0



2 x





2 x0



x



x0



x0x x

2



,当

x0



2 时,

x

在 2 上



x0

,

x0



单调递减.∴当

x x0 ,


2 x0



时,





x



x0



0 ,从而有

x


x0 ,

2 x0

时,

x
x x0



,当 0

x0



x 2 时,




2 x0

,

x0



上单调

递减,∴当

x




2 x0

,

x0



时,



x







x0





0 ,从而有

x




2 x0

时,
, x0

x
x x0


0

∴当 x 0, 2 U 2, 时, y f x 不存在“类对称点”.当 x0 2 时, x 2 x 2 2 , x

∴ x 在 0, 上是增函数,故 x 0 ,所以当 x0 2 时, y f x 存在“类对称点”. x x0

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