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高中数学第一章1.1_1.1.1第2课时集合的表示课件新人教版必修91(1)

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第一章 集合与函数概念

1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示
第 2 课时 集合的表示

[学习目标] 1.掌握集合的两种常用表示方法:列举 法和描述法(重点). 2.通过实例能选择自然语言、图形 语言、集合语言描述不同的具体问题,感受集合语言的意 义和作用(重点、难点).

1.列举法 把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括 起来表示集合的方法叫作列举法. 温馨提示 (1)元素间用“,”分隔开,其一般形式为 {a1,a2,…,an};(2)元素不重复,满足元素的互异性; (3)元素无顺序,满足元素的无序性.

2.描述法 (1)定义:用集合所含元素的共同特征表示集合的方 法. (2)具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素 的一般符号及取值或变化范围,再画一条竖线,在竖线后 写出这个集合中元素所具有的公共特征.
温馨提示 对于元素个数不确定且元素间无明显规 律的集合,常用描述法表示集合.

[思考尝试·夯基]
1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)实数集可以写成{实数},也可以写成{实数集}或 {全体实数}.( ) (2)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合.( ) (3)集合 A={(1,2),(0,3)}中共有 4 个元素.( )

[思考尝试·夯基]
1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)实数集可以写成{实数},也可以写成{实数集}或 {全体实数}.( ) (2)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合.( ) (3)集合 A={(1,2),(0,3)}中共有 4 个元素.( )

解析:(1)错,因为花括号“{ }”表示“所有、全部” 的意思.
(2)对,虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同, 但实质上它们均表示大于 3 的所有实数,故表示同一个集 合.

(3)错,集合 A 是由坐标平面上的点构成的集合,A 中只有 2 个元素.
答案:(1)× (2)√ (3)×

2.用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为( )

A.{1,1}

B.{1}

C.{x=1}

D.{x2-2x+1=0}

解析:方程 x2-2x+1=0 可化简为(x-1)2=0,

所以 x1=x2=1,故方程 x2-2x+1=0 的解集为{1}.

答案:B

3.方程组xx+-y2=y=2,-1的解集是(

)

A.{x=1,y=1} B.{1}

C.{(1,1)}

D.{(x,y)|(1,1)}

解析:方程组的解集中元素应是有序数对形式,排除

A,B,而 D 中的条件是点(1,1),不含 x,y,排除 D.

答案:C

4.由 10 到 20 之间的质数组成的集合为___________. 解析:10 到 20 之间的质数是 11,13,17,19,所有 组成的集合为{11,13,17,19}. 答案:{11,13,17,19}

5.平面直角坐标系中第一象限的点组成的集合可表 示为{(x,y)|____________}.
解析:平面直角坐标系中第一象限的点满足横、纵坐 标的值都大于 0,即 x>0,y>0,故第一象限的点组成的集 合可表示为{(x,y)|x>0,y>0}.
答案:x>0,y>0

类型 1 用列举法表示集合(自主研析)
[典例 1] 用列举法表示下列集合: (1)小于 10 的正偶数组成的集合; (2)方程 x(x2-1)=0 的所有实数根组成的集合; (3)直线 y=x 与 y=2x-1 的交点组成的集合; (4)满足不等式 x2+y2≤2 的整数点(横坐标、纵坐标 都是整数的点)组成的集合.

解:(1)小于 10 的正偶数有 2,4,6,8,

所求集合为{2,4,6,8}.

(2)方程 x(x2-1)=0 的根为 0,±1,

所求集合为{0,-1,1}.

y=x,

x=1,

(3)方程组

的解是

y=2x-1

y=1,

所求集合为{(1,1)}. (4)满足不等式 x2+y2≤2 的整数点组成的集合是 {(-1,-1),(1,-1),(1,1),(-1,1),(0,0), (0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0)}.

归纳升华 用列举法表示集合时,应明确集合中的元素所满足的 特征,然后把集合中的元素一一列举出来,写在“{ }” 内,其中“{ }”具有“所有”“整体”的意思.

[变式训练] 用列举法表示下列集合:
(1)平方等于 5 的实数组成的集合为________; (2)由|aa|+|bb|(a,b∈R,且 ab≠0)所确定的实数集为 ________; (3)绝对值在 3 到 7 之间的整数组成的集合为______; (4)方程组xx+2+yy==00,的解集为________________.

解析:(1)因为(± 5)2=5,所以平方等于 5 的实数组 成的集合为{- 5, 5}.
(2)设 x=|aa|+|bb|,当 a>0,b>0 时,x=2;当 a<0, b<0 时,x=-2;当 a,b 异号时,x=0.故用列举法表示 为{-2,0,2}.

(3)绝对值在 3 到 7 之间的整数是-4,-5,-6,4,

5,6,所以,组成的集合为{-4,-5,-6,4,5,6}.

x=0,x=1,

(4)方程组的解为

所以方程组的解

y=0, y=-1,

集为{(0,0),(1,-1)}.

答案:(1){- 5, 5} (2){-2,0,2} (3){-4,-5,-6,4,5,6} (4){(0,0),(1,-1)}

类型 2 用描述法表示集合
[典例 2] 用描述法表示下列集合:
(1)使 y=x2+1x-6有意义的实数 x 的集合; (2)坐标平面上第一、三象限内点的集合; (3)函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上所有点的集 合; (4)方程 x2+(m+2)x+m+1=0(m∈Z)的解集.

解:(1)要使 y=x2+1x-6有意义, 则 x2+x-6≠0,即 x≠2 且 x≠-3, 故可写成{x∈R|x≠2 且 x≠-3}. (2)第一、三象限内点的特征是横、纵坐标符号相同, 因此可写成{(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R}.

(3)易知集合可写成{(x,y)|y=ax2+bx+c(a≠0), x∈R}. (4)易知集合可写成{x|x2+(m+2)x+m+1=0, m∈Z,x∈R}.

归纳升华 1.描述法表示集合的两个步骤:(1)写出代表元素, (2)明确元素的特征,并将集合中元素所具有的公共特征 写在竖线的后面.

2.描述法表示集合,注意三点:(1)所有描述的内容 都要写在花括号内.例如, {x∈Z|x=2k,k∈Z};(2)不能 出现未被说明的字母;(3)在通常情况下,集合中竖线左 侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.

[变式训练] 用描述法表示下列集合:
(1)满足不等式 3x+2>2x+1 的实数 x 组成的集合为 ________;
(2) 平 面 直 角 坐 标 系 中 第 二 象 限 内 的 点 的 集 合 为 __________________;
(3)所有正奇数组成的集合为______________.

解析:(1){x|3x+2>2x+1}={x|x>-1}. (2){(x,y)|x<0,y>0,且 x,y∈R}. (3){x|x=2k-1,k∈N*}. 答案:(1){x|x>-1} (2){(x,y)|x<0,y>0,x,y∈R} (3){x|x=2k-1,k∈N*}

类型 3 用适当的方法表示集合
[典例 3] 用适当的方法表示下列集合: (1)已知集合 P={x|x=2n,0≤n≤2,且 n∈N}; (2)能被 3 整除且大于 4 小于 15 的自然数组成的集合; (3)x2-4 的一次因式组成的集合; (4)由方程组xx+-yy==3-,1的解所组成的集合.

[自主解答] (1)用列举法表示为 P={0,2,4}. (2)用列举法表示为{6,9,12};用描述法表示为{x|x =3n,4<x<15,且 n∈N}. (3)用列举法表示为{x+2,x-2}. (4)用列举法表示为{(1,2)}, 用描述法表示为{(x,y)|x=1,y=2}.

归纳升华 1.列举法和描述法各有优点,应根据具体问题确定 采用哪种表示法. 2.列举法有直观明了的特点,但有些集合是不能用 列举法表示出来的. 3.描述法是把集合中的元素所具有的特征性质描述 出来,具有抽象、概括、普遍性的特点.

[变式训练] 用适当的方法表示下列集合:
(1)一年中有 31 天的月份的全体; (2)梯形的全体构成的集合; (3)所有能被 3 整除的数的集合; (4)方程(x-1)(x+2)x=0 的解集; (5)不等式 3x+5<8 的解集.

解:(1){1 月,3 月,5 月,7 月,8 月,10 月,12 月}; (2){x|x 是梯形}或{梯形}; (3){x|x=3n,n∈Z}; (4){-2,0,1}; (5){x|x<1}.

1.表示集合的要求
(1)根据要表示的集合元素的特点,选择适当方法表 示集合,一般要符合最简原则.
(2)一般情况下,元素个数无限的集合不宜用列举法 表示,描述法既可以表示元素个数无限的集合,也可以 表示元素个数有限的集合.

2.在用描述法表示集合时应注意的方面
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么),是 数、是有序实数对(点)、还是其他形式.
(2)元素具有怎样的属性.当题目中用了其他字母来 描述元素所具有的属性时,要去伪存真,而不能被表面 的字母形式所迷惑.


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